九年级上册初中数学专项练习212524十大题型垂径定理

垂径定理-十大题型

【知识点1  垂径定理及其推论】

（1）垂径定理
   垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
   推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
   推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
   推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1  利用垂径定理求线段长度】

【例1】（雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　）

A．1 B．3 C．2 D．4

【变式1-1】（宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）

A．6 B． C．8 D．

【变式1-2】（建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）

A．5 B．2 C．4 D．

【变式1-3】（徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　     ．

【题型2  利用垂径定理求角度】

【例2】（泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA²+AB²＝BC²，则∠OAC的度数为（　　）

A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°

【变式2-1】（天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．135°

【变式2-2】（青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE．

（1）求弦AB的长；

（2）求∠CAB的度数．

【变式2-3】（开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．

（1）若AB＝6，求DE的长；

（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．

【题型3  利用垂径定理求最值】

【例3】（威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　）

A． B．1 C． D．2

【变式3-1】（河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S_△PAB的最大值为（　　）

A．1 B． C． D．

【变式3-2】（龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　    　．

【变式3-3】（延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）

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