九年级下册下数学专项练习人教版十大题型培优

【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．

【变式1-1】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知为的三边长，且，，求三边的长．

【变式1-2】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段满足，且

(1)求的值；

(2)若线段是线段的比例中项，求的值．

【变式1-3】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.

（1）若，，则_，_（用“＞”，“＜”或“=”填空）；

（2）若请判断和的大小关系，并证明；

（3）令若分式的值为3，求t的值.

【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，与相交于点，点在上，且，若，，求的长．

【变式2-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式2-3】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，且，，分别交，，于，，，则的长为_____________．

【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（　　）

A． B． C． D．

【变式3-1】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段______．

【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），

(1)求线段的长；

(2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．

【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：

(1)；

(2)．

【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知，．

(1)求的长；

(2)求证：．

【变式4-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，垂足为点，点是上的一点，连接，作，且交于点.

（1）求证：；

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