九年级下册下数学专项练习人教版十大题型拔尖

【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；

(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．

【变式1-1】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为__________．

【变式1-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是内的一点，连接，，，，过点P作，，分别交、于点E、F，若，则四边形的面积为____．

【变式1-3】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)如图①，等腰直角四边形，，．

①若，于点，求的长；

②若，，求的长；

(2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长．

【题型2 利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】

【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点均在格点上，连接相交于点，若小正方形的边长为1，则点到的距离为______．

【变式2-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，和的顶点都在格点上，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点、、、、在网格中的格点处，与相交于点，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于______．

【变式2-3】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则________．

【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在中，，垂足为，为锐角，且，若，，则边长为______．

【变式3-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为_____．

【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，把绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是，，连接．当点在第二象限内，轴时，点A的对应点的坐标为_____．

【变式3-3】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：；

(3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值．

【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（　　）

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