九年级上册初中数学专项练习212522二大题型次函数的应用

二次函数的应用-九大题型

【知识点1  解二次函数的实际应用问题的一般步骤】

审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；

设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；

检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；

答：写出答案.

【题型1  图形面积或周长问题】

【例1】（越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【变式1-1】（永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．

  （1）若花园的面积为252m²，求x的值；

  （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

【变式1-2】（清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x²﹣6x+10＝（x²﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）²﹣9+10＝（x﹣3）²+1≥1；因此x²﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x²﹣6x+5＝﹣3（x²+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）²+8，因此﹣3x²﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8．

（1）当x＝　　时，代数式﹣2（x﹣3）²+5有最大值为　　．

（2）当x＝　　时，代数式2x²+4x+3有最小值为　　．

（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

【变式1-3】（市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．

（1）若花卉均价为300元/米²，种植花卉的面积为S（米²），草坪均价为200元/米²，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值．

（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：2．

①求MF，FN的长．

②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米²，90元/米²，180元/米²，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值．

【题型2  图形运动问题】

【例2】（利川市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q两点同时从点B、D出发，分别沿BA、DA方向匀速运动（当P运动到A时，P、Q同时停止运动），已知P点的速度比Q点大1cm/s，设P点的运动时间为x秒，△PAQ的面积为ycm²，

（1）经过3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的时，求P、Q两点的运动速度分别是多少？

（2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

【变式2-1】（巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

【变式2-2】（丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm²？

（2）经过多少时间后，S_△PCQ的面积为15cm²？

（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

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